Arbeitsinfos • Entwürfe • Formeldesigner


Regenbogen


Zur Abbildung von Formeln kann man sich entweder eines speziellen Frameworks bedienen oder die HTML-Kodierung MathML verwenden, wobei letztere noch nicht von allen Browsern ordentlich interpretiert wird und zudem bei der Eingabe der Formeln mir sehr viel Code zum Formatieren einhergeht. Ich habe versucht, es mir so einfach wie möglich zu machen ...

Dargestelltes - Von der Formel zur Berechnung


Wenn ich dieses Thema in allen Facetten erschöpfend abhandeln wollte, bräuchte ich mich auf absehbare Zeit mit keinen anderen Themen zu beschäftigen. Daher beschränke ich die erste Ausarbeitung auch auf lineare und quadratische Gleichungen, die hier berechnet und dann mit einem einfachen Pixelgraphen abgebildet werden sollen. Eine spätere Erweiterung soll es aber auch noch geben. Davor steht jedoch das Arbeiten mit Formeln, genauer gesagt, es geht um die Abbildung von Formeln, mit denen ich einen mathematischen Sachverhalt zuerst einmal darstellen möchte.

Die folgenden Formelsymbole sehen Sie nur, wenn MathJax, welches hier als CDN-Version geladen wurde, ordentlich rendert. Nehmen wir nun also an, dass Sie eine quadratische Gleichung der Form `ax^2 + bx + c = 0` mit `a != 0` berechnen (und später dann auch graphisch darstellen) wollen. Aus der Schule wissen Sie noch, dass es hier zwei reelle Lösungen geben kann, wenn die Bedingung

`(p/2)^2 >= q`

erfüllt ist. Um die Normalform der quadratischen Gleichung zu bekommen, ist zuerst einmal die Division mit `a` durchzuführen, woraus sich ergibt:

`x^2 = b/a * x + c/a = 0`, wobei die Darstellung mit `p = b/a` und `q = c/a` vereinfacht wird.

Die vereinfachte Schreibung für die Normalform lautet nun `x^2 + p*x + q = 0`. Die Lösung lässt sich nun auch entsprechend mit der quadratischen Ergänzung herleiten als

`x^2 + p*x = -q`

`x^2 + p*x + (p/2)^2 = (p/2)^2 - q`

Durch die Addition der quadratischen Ergänzung wird der linke Term zum Binom `a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2`, so dass wir die folgende Schreibweise verwenden können:

`(x + p/2)^2 = (p/2)^2 - q`, was beim Radizieren `sqrt((x + p/2)^2) = sqrt((p/2)^2 - q)` ergibt.

Wenn nun gilt, dass `sqrt(k^2) = |k|` und `(k` ∈ `R)` ist und für den Betrag der Zahl gilt, dass `|k| = k` wenn `k >= 0` und `|k| = -k` wenn `k < 0`, dann erhalten wir die folgende Teillösung:

`|x + p/2| = sqrt((p/2)^2 - q)`

Nun lösen wir das Betragszeichen auf und gehen in Fall 1 von einem nichtnegativen Inhalt aus, in Fall 2 von einem negativen, wobei ein Minus vor den Inhalt zu setzen ist.

Fall 1:

`+(x + p/2) = sqrt((p/2)^2 - q)` woraus sich `x = - p/2 + sqrt((p/2)^2 - q)` ergibt.

Fall 2:

`-(x + p/2) = sqrt((p/2)^2 - q)`   |`*(-1)`, was über `x + p/2 = - sqrt((p/2)^2 - q)` dann zu

`x = - p/2 - sqrt((p/2)^2 - q)` führt.

Damit sind wir am Ziel und erhalten die allgemeine p-q-Formel mit folgendem Aussehen:

`x`1/2 `= - p/2 +- sqrt((p/2)^2 - q)`.

Diese komplette Herleitung hätte ich mir im Grunde sparen können, aber es ging hier auch einmal darum, das Mathe-Framework MathJax auszuprobieren, da ich noch weitere Projekte zu bearbeiten habe, bei denen auch eine ordentliche Formeldarstellung nötig ist.

Gedrucktes - Vom Ergebnis zur graphischen Darstellung


Auch wenn ich hier das Rad wieder neu erfinden sollte (weil es derartige Skripte ja auch schon in einer kaum mehr überschaubaren Fülle gibt), so ist es doch mehr als nur eine nette Übung, aus diesen graphischen Formeln auch echte Graphen zu machen. Dafür arbeite ich an einem Funktionenplotter, der auf einer Extra-Seite beschrieben wird ...

zum Seitenanfang